insect200650的部落格

一元四次方程式

已知方程式6x⁴-29x³+26x²+14x-12=0,在區間(-1,-1/3),(1,2)內均有有理數根,試解此方程式.

由題目的意思可以知道,有二個有理數解在區間(-1,-1/3),(1,2)內,這是題目給的已知.

那麼其他兩解呢？因為基本上一元4次方程式是有4個解的（一般來說）,當然也有可能是無解。

如何解題呢?

要分解已知的方程式,所給的方程式實在有點複雜,要解實在有困難,那要怎麼辦呢？我用的方法是應用因式分解,然後去判斷要如何解？

以係數6和係數12為判斷,6的因數有1,6,2,3.然後12的因數有1,12,2,6,3,4.

原來的方程式是1元4次,那麼它的分解後應為（a1x+b1）（a2x+b2）（a3x+b3）（a4x+b4）=0。也就是x⁴的係數為a1×a2×a3×a4是必為6的因數中的互乘,常數項b1×b2×b3×b4也是必由12因數的中的互乘得之,就是在此範圍內互相併揍為a_ix+b_i，且本方程式可以整除原之方程式。

因為有二個有理數解為已知的範圍,有理數就是分子和分母都為整數的解,那麼由6和12的分解式其整數加以配對，並合乎於區間(-1,-1/3),(1,2)內,其可能的解只有二組,3x+2=0,x=-2/3本組屬於(-1,-1/3),2x-3=0,x=3/2本組屬於(1,2)內。（先提示二個範圍本題簡直就是仁慈，讓解題者不用試太多次）

先把3x+2除以6x⁴-29x³+26x²+14x-12,得6x⁴-29x³+26x²+14x-12=（3x+2）（2x³-11x²+16x-6）,再以2x-3除以2x³-11x²+16x-6,得2x³-11x²+16x-6=（2x-3）（x²-4x+2）

已知方程式6x⁴-29x³+26x²+14x-12=0,可以分解為6x⁴-29x³+26x²+14x-12=（3x+2）（2x-3）（x²-4x+2）=0

由以上的分解可以知有理數解2個,另無理數解應該有二個,

由一元二次方程式的解法

1.      以上最主要是要讓解題者知道什麼是有理數。

2.      一個數分解成因數是由整數所組成的,因此組合成的分數解符合有理數。

3.      用己知解的範圍，來測試答案，用長除法，把原來的式子分解成向一元一次方程式的乘積。

4.      解出方程式。